Когато стане дума за математика в училище, един от вероятно най-често задаваните въпроси от учениците е: “За какво ще ми трябва това в живота?”
Този въпрос ми е задаван не веднъж, не два пъти, в т.ч. и от собствените ми деца. И трябва да признаем, че въпросът е напълно основателен.
Нещо повече – още тук, в началото на тази статия, бих искал да кажа нещо, което може би ще прозвучи малко странно от устата на човек, който дава частни уроци по математика: ако зависеше от мен, щях да направя така, че децата да не учат толкова много математика в училище. Според мен част от целите, които преследваме чрез математиката, могат да бъдат постигнати и по други начини.
И въпреки това смятам, че математиката има заслужено място сред основните училищни предмети. По-долу ще обясня защо.
Какъв е смисълът изобщо да учим нещо?
Ако се замислим, огромната част от хората никога няма да решават квадратни уравнения в работата си, няма да използват формулите за съкратено умножение и едва ли някога ще им се наложи да доказват, че два триъгълника са еднакви. Затова и колкото повече напредва в училищната математика, толкова по-естествено е един ученик да се запита: “Добре, но защо изобщо уча това?”
Самият въпрос обаче съдържа едно скрито предположение – че има смисъл да учим само неща, които един ден непосредствено ще използваме. Ако приемем този критерий, доста бързо ще стигнем до странни заключения.
Например:
- Защо да учим граматика, ако няма да ставаме филолози?
- Защо да учим музика, ако няма да сме музиканти?
- Защо да рисуваме, ако няма да ставаме художници?
- Защо да спортуваме, ако няма да бъдем професионални спортисти?
- И защо да изучаваме как функционира държавата, ако няма да ставаме политици?
Очевидно общото образование има по-широка задача. То не е професионален курс, който трябва да ни подготви единствено за конкретната работа, която ще вършим след десет или двадесет години. Още повече че на 12 или 14 годишна възраст обикновено нямаме никаква представа каква ще бъде тази работа. В тази връзка училището би трябвало да ни даде различни инструменти за разбиране на света и едновременно с това да развие различни наши способности – езикови, физически, социални, творчески, аналитични.
Следователно, може би по-интересният въпрос е друг: на какво всъщност се учим, докато се опитваме да решаваме математически задачи?
Преди да отговорим на този въпрос, струва си да погледнем назад в историята, защото математиката не е попаднала в училището през последните сто-двеста години, нито пък присъствието й в образованието е някаква случайна приумица.
От кога се учи математика?
Следите водят буквално хилядолетия назад.
В Месопотамия преди около 4000 години бъдещите писари са изучавали математика в специализирани школи. Запазените глинени плочки от старовавилонския период показват, че учениците са работили с числа, мерни единици, умножение и различни практически задачи. Част от този учебен материал е бил свързан със съвсем конкретни нужди – измерване, търговия, управление на земя и администрация.
В Античността математиката постепенно придобива и друг смисъл. Тя вече не е само средство за пресмятане, а начин да се изучават отношения, пропорции и закономерности. Тази традиция продължава и през Средновековието. В класическото образование аритметиката и геометрията влизат в т.нар. quadrivium заедно с музиката и астрономията. То допълва trivium – граматика, реторика и логика – и така се оформят прочутите седем свободни изкуства – седем фундаментални науки и умения, които са се смятали за ключови и необходими за всеки свободен гражданин в Древна Гърция и Рим – за да може той да мисли критично, да се изразява правилно и да разбира света.
Много по-късно, с разрастването на масовото образование през XIX век, математиката постепенно се установява като неизменна част от училищната програма. Показателна е историята на британското образование от този период: математическите знания започват все повече да се разглеждат като необходими за модерния живот, търговията и индустрията, а елементарната аритметика се нарежда до четенето и писането сред основните знания, които училището трябва да даде.
Подобен процес се наблюдава и в България. Още през Възраждането аритметиката постепенно се утвърждава като част от светското образование – Петър Берон я включва в “Рибния буквар” през 1824 г., а през 1833 г. Христаки Павлович издава първия български учебник по аритметика. През следващите десетилетия математическото обучение се разширява с алгебра и геометрия, а след Освобождението математиката вече трайно заема място в училищните програми. Любопитното е, че още тогава някои български учители подчертават не само практическата стойност на смятането, но и ролята на математиката за развитието на способността да се разсъждава.
Така че през различните епохи математиката е била в образованието по различни причини – за търговия, земемерство, строителство, администрация, астрономия, техника, наука. Постепенно към чисто практическата й функция се добавя и друга идея: че заниманието с математика развива определен начин на мислене.
И точно тук вече стигаме до същинския въпрос:
Защо учим математика в училище?
Нека видим защо.
1. Математиката учи да решаваме проблеми
Ако трябва да поставя една причина на първо място, бих избрал именно тази. В основата на всяка математическа задача лежи проблем, който трябва да разрешим. Разполагаме с определена информация, търсим нещо неизвестно, имаме условия и ограничения и трябва да открием път от едното до другото.
Понякога решението е почти очевидно. В други случаи обаче трябва да разделим проблема на части, да опитаме един подход, да установим, че не работи, да се върнем към условието и да потърсим друг. Трябва да преценим кои знания са приложими и кои не, а накрая да проверим дали резултатът изобщо има смисъл.
Това далеч не е само математика. В доста житейски и професионални ситуации правим нещо сходно – опитваме се да разберем какъв е проблемът, с каква информация разполагаме, какво ни липсва, какви варианти имаме и кой от тях е най-подходящ.
Тук има и още един важен момент. Математиката много бързо показва разликата между това да си запомнил нещо и действително да го разбираш. Можеш да научиш една формула наизуст и въпреки това да не можеш да решиш задачата. Можеш да помниш как учителят е решил предишния пример, но при малка промяна на условието да не знаеш откъде да започнеш. Можеш да знаеш правилото, но да не разпознаеш ситуацията, в която трябва да го използваш.
Затова математиката сравнително трудно позволява дълго време да се минава само със запаметяване и възпроизвеждане. В един момент ученикът вече не може да действа наизуст и е принуден да започне да разбира какво прави, защо го прави и кога може да използва наученото.
Разбира се, това важи и за добре преподаваната история, физика, литература или биология. Но при математиката разликата между “това го знам” и “разбирам го и мога да го приложа“ често се вижда особено ясно.
2. Математиката развива логическо и критическо мислене
Логическото и критическото мислене са близки понятия, но не са едно и също.
Логическото мислене има отношение към връзката между предпоставките и заключенията. Ако знаем едно, какво следва от него? Има ли противоречие? Можем ли да покажем защо едно твърдение е вярно?
В математиката обикновено не е достатъчно да кажеш: “Мисля, че отговорът е 12.” Трябва да можеш да докажеш защо е 12. Именно това изискване за последователност и обосновка дисциплинира мисленето.
Критическото мислене добавя други въпроси. Дали изходната информация е достатъчна? Правилни ли са предпоставките ми? Не пропускам ли нещо? Има ли друг начин да погледна на проблема? Мога ли по някакъв начин да проверя резултата си?
Математиката, разбира се, не е единственият начин да развиваме критическо мислене. Но навикът да доказваш, да проверяваш и да не приемаш автоматично първия получен резултат за верен определено може да помага.
3. Математиката развива абстрактното мислене и умението за моделиране
Абстрактното мислене е нещо различно. Малкото дете първоначално работи с конкретното: има три ябълки, добавяме още две и получаваме пет. По-късно ябълките изчезват и остават само числата: 3 + 2 = 5. След време дори конкретното число може да бъде заменено със символ: x + 2 = 5.
Това е голяма интелектуална крачка. Човешкият ум вече не работи само с предмети, които може да види или докосне, а с отношения, зависимости, структури и модели.
Тук се появява и една от най-мощните страни на математиката – способността за моделиране. Вземаме реален проблем, отделяме същественото от несъщественото и го описваме чрез математически отношения. После работим с модела и накрая отново се връщаме към действителността, за да видим какво означава полученият резултат.
Ето как, вместо да решаваме сто напълно различни конкретни случая, можем да открием общ принцип, който стои зад всички тях. Именно този начин на мислене е в основата на огромна част от съвременната наука и технологии.
4. Математиката учи да откриваме закономерности
Голяма част от математиката представлява търсене на закономерности.
Например:
- Какво се повтаря?
- Какво се променя?
- Как едно нещо зависи от друго?
- Какво ще се случи, ако променим една величина?
- Можем ли от няколко конкретни случая да открием някакво общо правило?
Това е способност, която използваме непрекъснато и извън математиката. Навсякъде в живота ние наблюдаваме различни ситуации, сравняваме ги, търсим прилики и разлики и се опитваме да разберем кои фактори влияят върху резултата.
Когато веднъж открием закономерността, вече не е необходимо всеки път да започваме от нулата. Това е един от фундаменталните механизми и на самото учене – да преминем от отделния случай към по-общото правило.
5. Математиката ни учи да работим с числа, данни и информация
Тук стигаме до една от най-преките практически ползи от математиката. Съвременният човек живее в свят на проценти, кредити, лихви, заплати, данъци, вероятности, статистики, графики и проучвания. Всеки ден около нас има огромно количество информация, представена чрез числа.
Чуваме, че дадена цена е намалена с 30%, че рискът от нещо е нараснал с 50%, че средната заплата е определена сума или че 42% от анкетираните подкрепят дадено твърдение. Но математически грамотният човек би трябвало да умее да зададе още няколко въпроса. Тридесет процента от какво? Рискът е нараснал от колко на колко? Какво точно означава “средно”? Как е подбрана извадката? Не е ли направена графиката така, че визуално да преувеличава разликата?
Тъкмо тук математическата грамотност започва да се преплита много силно с критическото мислене. Числата могат да ни помогнат да разберем света, но могат и да ни заблудят, ако не умеем да ги интерпретираме.
6. Математиката възпитава внимание към детайла, точност и самопроверка
Всеки, който е решавал достатъчно задачи по математика, знае колко често човек може прекрасно да разбира начина на решение и въпреки това да получи грешен резултат. Един пропуснат минус, неправилно преписано число, объркана мерна единица или недогледано условие понякога са достатъчни да провалят цялата работа.
Затова определено мисля, че точността и вниманието към детайла са качества, които се възпитават чрез математиката. На свой ред те са части от един и същ навик – да работиш внимателно и след това да проверяваш собствената си работа.
А самопроверката е особено ценна. Получили сме някакъв отговор, но възможен ли е изобщо той? Ако човек се движи със 70 км/ч, може ли за два часа да измине 700 километра? Ако при изчисление получим отрицателна дължина на страна на триъгълник, вероятно не сме открили нов вид геометрия, а някъде сме сбъркали.
Навикът да не приемаме автоматично собствения си отговор за верен определено е полезен далеч извън математиката.
7. Математиката развива постоянство
Едно от нещата, които най-често наблюдавам в работата си с ученици, е отношението им към задача, която не могат да решат веднага. Някои много бързо стигат до заключението: “Аз не съм добър по математика.” И спират.
Други постепенно разбират, че затруднението е нормална част от процеса. Понякога трябва да опиташ един начин, после втори. Да се върнеш към условието. Да потърсиш какво си пропуснал. Да разгледаш по-прост случай. Да оставиш задачата за малко и след това отново да се върнеш към нея.
Тук има един урок, който според мен е много по-важен от конкретната задача: “Все още не мога да я реша” не е същото като “Не мога да решавам такива задачи”.
Това отношение към трудността има значение далеч отвъд математиката. Почти всяка по-сериозна човешка дейност изисква постоянство – способност да останеш достатъчно дълго при проблема, вместо да се откажеш при първото затруднение.
Математиката не е само тренировка за ума
Ако всички аргументи в полза на математиката се изчерпваха с тези седем точки, напълно резонно би било да попитаме: но защо точно математика? Нима няма и други занимания, които развиват логика, концентрация, анализ, внимание и постоянство?
Разбира се, че има.
Но математиката притежава едно много сериозно допълнително предимство. Тя не е само средство за развитие на определени способности, а и практически език, чрез който описваме количествената страна на света.
Физика, инженерство, архитектура, икономика, финанси, статистика, информатика, машинно обучение – във всички тези области математиката не е някаква интелектуална гимнастика. Тя е необходим инструмент.
Повечето ученици няма да станат физици, инженери или програмисти, но училището няма как предварително да знае кое десетгодишно дете един ден ще избере подобен път. Ако една фундаментална подготовка бъде пропусната твърде рано, по-късно цели професионални направления могат да се окажат недостъпни.
И точно затова има допълнителен смисъл всички деца да получат определена математическа основа.
Къде е границата в ученето на математика?
Тук обаче стигам до един въпрос, който според мен също не бива да избягваме.
Фактът, че математиката има огромни ползи, не означава автоматично, че колкото повече математика изучава всяко дете, толкова по-добре. Някъде би трябвало да има разумна граница между математиката като част от общото образование и математиката като специализирано професионално знание.
В началото тази граница почти не се вижда. Всеки човек има полза да може да смята, да разбира проценти, пропорции, вероятности, графики и основни статистически понятия. Има смисъл да се срещне с алгебра и геометрия, да решава задачи, да моделира ситуации и да развива всички онези способности, за които стана дума дотук.
Но с напредването на математиката нещата постепенно се променят. Моделите стават все по-абстрактни, инструментите – все по-специализирани, а броят на хората, които действително ще имат нужда от тях в професионалния си живот, намалява. Това не прави висшата математика безполезна – напротив, цели области на физиката, инженерството, статистиката, икономиката, информатиката и съвременните технологии вероятно не биха могли да съществуват без нея. Но потребността от подобно ниво на математическа подготовка вече е много по-силно свързана с избрания професионален път.
И според мен точно тук възниква въпросът за дозата.
Едно е да кажем, че всяко дете трябва да получи достатъчно математическо образование, за да бъде грамотен съвременен човек и да развие определени начини на мислене. Съвсем друго е да приемем, че всички ученици трябва да бъдат водени максимално далеч в една все по-специализирана материя, независимо от интересите, способностите и бъдещите им намерения.
Тънкият момент следователно не е дали математиката има смисъл. Според мен тя има огромен смисъл. По-трудните въпроси са колко математика, каква математика и за кого.
И тук аналогията с други занимания става особено интересна.
А защо да не учим шахмат?
Като човек, който от дете играе шах, а преди няколко години дори бе в Топ 1% на шахматистите в света по онлайн блиц на 3 минути (научи повече за мен), темата за шахмата е актуална.
Считам, че ако една от целите на математиката е да развива логическо мислене, решаване на проблеми, внимание, планиране, откриване на закономерности и постоянство, шахът веднага се появява като любопитна алтернатива.
Ако зависеше от мен, вероятно бих му дал значително по-голямо място в училищното образование. В една шахматна партия постоянно трябва да:
- анализираш ситуацията;
- търсиш варианти;
- предвиждаш последствията;
- забелязваш детайли;
- разпознаваш типични модели;
- планираш няколко хода напред.
Освен това шахът има нещо, което повечето математически задачи нямат – игровия и състезателния елемент. Срещу теб стои друг човек, който също мисли, има собствен план и активно се опитва да осуети твоя. Може да играете на живо или онлайн, може съперникът да е човек или компютър, но във всички случаи получаваш много бърза обратна връзка за качеството на решенията си.
Побеждаваш, губиш, анализираш и опитваш отново. Тук се появяват и стремежът към постижение, желанието да станеш по-добър и способността да понесеш факта, че си сгрешил.
Интересното е, че това не е само теоретична идея. Например, в Армения шахматът е включен като задължителен предмет в държавните училища още през 2011 г. и се изучава от учениците във II–IV клас. През 2022 г. Грузия също обявява въвеждането на задължително обучение по шах за първокласниците в приблизително 2200 държавни и частни училища, като сред посочените цели са развитието на аналитично, логическо и критическо мислене и умения за решаване на проблеми.
Още през 2012 г. Европейският парламент приема декларация, с която насърчава въвеждането на програмата “Chess in School” в образователните системи на страните членки. Сред аргументите са развитието на концентрацията, търпението, постоянството, аналитичните умения и способността за вземане на решения.
И тук обаче отново важи въпросът за дозата. Ако учим децата на шах, целта не е всяко от тях да стане майстор на спорта или гросмайстор. За огромната част това никога няма да се случи и няма никаква нужда да се случва. Голямата полза може да бъде получена много по-рано – просто чрез самото занимание с играта.
А защо да не учим програмиране?
С програмирането положението е подобно. За да решиш един програмен проблем, често трябва първо да го разделиш на по-малки части, да определиш какво трябва да се случи и в каква последователност, да създадеш алгоритъм, да го изпълниш и почти неизбежно да откриеш, че нещо не работи точно така, както си очаквал.
След това започва търсенето на грешката. Проверяваш, променяш, тестваш отново. Тоест и тук имаме анализ, логика, внимание към детайла, решаване на проблеми и постоянство.
Не е необходимо всяко дете, което се занимава с програмиране, един ден да стане Senior Developer или професионален Full-Stack програмист, за да има смисъл да се е докоснало до този начин на мислене.
Същото може да се каже и за философията, природните науки, музиката и редица други области. Те могат да развиват различни човешки способности, без крайната цел непременно да е професионалното овладяване на съответната дисциплина.
И може би тук се връщаме към най-важния въпрос в тази статия.
Какво трябва да прави едно добро общо образование?
Според мен математиката има напълно заслужено място в училището. Тя развива способността за решаване на проблеми, логическото и критическото мислене, абстракцията, вниманието, постоянството и умението да откриваме закономерности. Дава ни и базова количествена грамотност, без която човек по-трудно може да разбира света около себе си.
В същото време не мисля, че математиката има монопол върху тези ползи. Шахът може да развива някои от тях. Програмирането – други. Философията, природните науки, музиката и спортът също дават неща, които трудно могат да бъдат измерени само с въпроса “Кога точно ще ми потрябва това в живота?”.
Затова бих бил предпазлив и с другата крайност – убеждението, че щом математиката е полезна, всяко следващо ниво на математическа сложност непременно трябва да бъде изучавано еднакво задълбочено от всички.
Според мен едно добро общо образование трябва да намери правилната доза. Да даде достатъчно математика, за да развие важни способности и да осигури необходимата математическа грамотност, но в един момент да позволи на онези, които искат да продължат към по-специализирана математика, физика, инженерство, статистика или друга сродна област, да го направят много по-задълбочено.
По същия начин можем да дадем шах на много деца, без да очакваме от всички да станат шахматисти. Можем да ги срещнем с програмирането, без всички да трябва да станат програмисти. Можем да ги учим на музика, без да очакваме от тях да излязат на концертната сцена.
Общото образование според мен трябва да даде основа, възможности и начини на мислене. След определена точка вече започва специализацията и там е нормално различните хора да тръгнат в различни посоки.
В заключение
И така, нека обобщим – защо учим математика в училище?
Не защото всяка задача, формула или уравнение ще ни потрябват пряко в живота. Смисълът е по-голям.
Математиката ни дава начин да мислим, да решаваме проблеми, да търсим закономерности, да работим с информация и да бъдем по-внимателни към собствените си решения.
Но това не означава, че всяко следващо ниво на математическа сложност трябва непременно да бъде еднакво важно за всеки ученик. Някъде между общата математическа грамотност и професионалната специализация има граница, която доброто образование трябва да умее да намира.
Затова, когато някой ученик попита: “Къде ще ми потрябва тази задача в живота?”, може би най-точният отговор е:
“Не знам дали в живота някога ще ти потрябва точно тази задача. Но има значение на какво се научаваш, докато се опитваш да я решиш.”
